Имеет ли право опекун увезти опекаемого ребёнка в другой город?

Имеет. Согласие органа опеки и попечительства требуется в случаях поездки за границу. Опекун получает пособие на содержание опекаемого несовершеннолетнего по месту жительства, поэтому в случае долговременной поездки или переезда в другой город на постоянное место жительства так или иначе придется обращаться в орган опеки и попечительства, чтобы решить вопрос с пособием, Вас снимут с учета, личное дело опекаемого перешлют в орган опеки и попечительства по новому адресу. Никто никому не вправе запретить перемещение по стране.